משולש שווה שוקיים: זוויות הבסיסגאומטריה 571 · שיעור 5
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות
שיעור 5: משולש שווה שוקיים: זוויות הבסיס
פרק 2 · משולשים
1שוקיים, בסיס, זווית ראש וזוויות בסיס
2המשפט, המשפט ההפוך ומשולש שווה צלעות
35 תרגילים פתורים, כולל תרגיל מורכב ותרגיל הוכחה
הגדרה + משפטים
משולש שווה שוקיים
במשולש ABC נתון AB = AC: שתי צלעות שוות – אלה השוקיים
BC – הבסיס. ∢A – זווית הראש. ∢B ו־∢C – זוויות הבסיס
📐 משפט: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות (∢B = ∢C)
📐 משפט הפוך: אם במשולש שתי זוויות שוות ← הצלעות שמולן שוות (המשולש שווה שוקיים)
📐 משולש שווה צלעות: כל הזוויות שוות, וכל זווית 60 מעלות (ולהפך)
💡 את ההוכחה נראה בשיעור 8, בעזרת חפיפת משולשים
📐 הגדרה
משולש שווה שוקיים: שתי צלעות שוות (השוקיים). הצלע השלישית היא הבסיס
תרגיל 1 · זוויות הבסיס · קל
במשולש ABC נתון: AB = AC , ∢A = 40
מצאו את ∢B ואת ∢C
מצאו את ∢B ואת ∢C
AB = AC , ∢A = 40
נתון
∢B = ∢C
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
∢A + ∢B + ∢C = 180
סכום הזוויות במשולש
40 + ∢B + ∢B = 180
מציבים ∢A = 40 ו־∢C = ∢B
2∢B = 180 − 40 = 140
מעבירים את 40 לאגף השני
∢B = 140 : 2 = 70
מחלקים את שני האגפים ב־2
∢C = ∢B = 70
זוויות הבסיס שוות
✅ פתרון סופי: ∢B = 70 , ∢C = 70
📐 משפט
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
תרגיל 2 · משוואה · בינוני
במשולש ABC נתון: AB = AC , ∢B = 2x + 10 , ∢C = 3x − 20
מצאו את x ואת זוויות המשולש
מצאו את x ואת זוויות המשולש
AB = AC , ∢B = 2x + 10 , ∢C = 3x − 20
נתון
∢B = ∢C
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
2x + 10 = 3x − 20
מציבים את הנתונים
10 + 20 = 3x − 2x
מעבירים אגפים: x לצד אחד, מספרים לצד השני
x = 30
כינוס איברים דומים
∢B = 2 · 30 + 10 = 70
מציבים x = 30
∢C = 3 · 30 − 20 = 70 ✔
מציבים x = 30 (יצא שווה ל־∢B)
∢A = 180 − 70 − 70 = 40
סכום הזוויות במשולש
✅ פתרון סופי: x = 30 , ∢B = ∢C = 70 , ∢A = 40
📐 משפט
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 כלל
כינוס איברים דומים: x עם x, מספרים עם מספרים
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
תרגיל 3 · משפט הפוך · בינוני
במשולש ABC נתון: ∢A = 80 , ∢B = 50 , AB = 7
מצאו את AC
מצאו את AC
∢A = 80 , ∢B = 50 , AB = 7
נתון
∢C = 180 − 80 − 50
סכום הזוויות במשולש
∢C = 50
חישוב
∢B = ∢C = 50
שתי זוויות שוות
AB = AC
אם במשולש שתי זוויות שוות – הצלעות שמולן שוות
AC = 7
מציבים AB = 7
✅ פתרון סופי: AC = 7 (המשולש שווה שוקיים)
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
📐 משפט הפוך
אם במשולש יש שתי זוויות שוות ← המשולש שווה שוקיים (הצלעות שמולן שוות)
∢B = ∢C ⟹ AB = AC
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
תרגיל 4 · מורכב: שווה צלעות + שווה שוקיים
ABC משולש שווה צלעות. D על המשך BC כך ש־CD = CA
מצאו את ∢CAD ואת ∢BAD
מצאו את ∢CAD ואת ∢BAD
△ABC שווה צלעות , CD = CA
נתון
∢ACB = 60
במשולש שווה צלעות כל זווית 60 מעלות
∢ACD = 180 − 60 = 120
זוויות צמודות
△ACD שווה שוקיים: CA = CD
נתון
∢CAD = ∢D
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
2∢CAD = 180 − 120 = 60
סכום הזוויות במשולש ACD
∢CAD = 60 : 2 = 30
מחלקים את שני האגפים ב־2
∢BAC = 60
במשולש שווה צלעות כל זווית 60 מעלות
∢BAD = 60 + 30 = 90
הקרן AC בתוך הזווית ∢BAD
✅ פתרון סופי: ∢CAD = 30 , ∢BAD = 90
📐 משפט
במשולש שווה צלעות כל זווית שווה 60 מעלות
📐 משפט
סכום זוויות צמודות הוא 180 מעלות
∢1 + ∢2 = 180
📐 הגדרה
משולש שווה שוקיים: שתי צלעות שוות (השוקיים). הצלע השלישית היא הבסיס
📐 משפט
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 כלל
אם קרן נמצאת בתוך זווית, הזווית שווה לסכום שני החלקים
תרגיל 5 · הוכחה · מורכב
במשולש ABC נתון AB = AC. הישר DE מקביל ל־BC (D על AB , E על AC)
הוכיחו: AD = AE
הוכיחו: AD = AE
AB = AC , DE ∥ BC
נתון
∢ADE = ∢B
בין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות
∢AED = ∢C
בין ישרים מקבילים זוויות מתאימות שוות
∢B = ∢C
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
∢ADE = ∢AED
שלוש השורות הקודמות (כלל המעבר)
AD = AE
במשולש ADE שתי זוויות שוות – הצלעות שמולן שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AD = AE (גם המשולש ADE שווה שוקיים)
📐 משפט
בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות
📐 משפט
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
📐 משפט הפוך
אם במשולש יש שתי זוויות שוות ← המשולש שווה שוקיים (הצלעות שמולן שוות)
∢B = ∢C ⟹ AB = AC
📌 מה למדנו היום
📐 משפט
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
AB = AC ⟹ ∢B = ∢C
📐 משפט הפוך
אם במשולש יש שתי זוויות שוות ← המשולש שווה שוקיים (הצלעות שמולן שוות)
∢B = ∢C ⟹ AB = AC
📐 משפט
במשולש שווה צלעות כל זווית שווה 60 מעלות
💡 צלעות שוות ← זוויות שוות מולן. זוויות שוות ← צלעות שוות מולן. בשווה צלעות: 60 מעלות.
בשיעור הבא: חוצה זווית הראש הוא גם תיכון וגם גובה
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא